4.3.1 Definición de una determinante

martes, 25 de noviembre de 2014

4.3.1 Definición de una determinante

Definición de una determinante

Este blog tiene el objetivo de evidenciar mi trabajo, y que al mismo tiempo que sirva para la difusión de estos conocimientos y técnicas.

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Métodos de cálculo

Artículos principales: Teorema de Laplace y Regla de Sarrus.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in P_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}.\$

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σ_i. El conjunto de todas las permutaciones es P_n. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los

n!

sumandos, el término

\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}\

denota el producto de las entradas en la posición (i, σ_i), donde i va desde 1 hasta n:

a_{1, \sigma_1} \cdot a_{2, \sigma_2} \cdots a_{n, \sigma_n}.\

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.