4.1.2 sistemas de ecuaciones lineales consistentes, inconsistente y su representación para métrica del conjunto solución

Sistemas de ecuaciones lineales consistentes, inconsistente y su representación  para métrica del conjunto solución

Este blog tiene el objetivo de evidenciar mi trabajo, y que al mismo tiempo que sirva para la difusión de estos conocimientos y técnicas.

ÁLGEBRA DE MATRICES:

Suma y resta de matrices: Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, la matriz AB es una matriz del mismo orden, que se obtiene sumando o restando los elementos de A y de B colocados en el mismo lugar.
Producto por escalares: Para multiplicar una matriz A por un numero real cualquiera, multiplicamos el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.
Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices A y B el numero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B. La matriz producto resultante (AB) tiene como elemento ij el producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz resultante tiene el numero de filas de A y el numero de columnas de B.
Propiedades del álgebra de matrices:

Ejemplo:
Realice (A+2B)C

Una matriz A es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas. En una matriz cuadrada, el conjunto de elementos cuyos subíndices coinciden forman la llamada diagonal principal: .
Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si los elementos colocados por debajo de la diagonal principal son ceros y una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.
A partir de una matriz A (cuadrada o no), podemos formar otra matriz llamada matriz traspuesta que se denota At y se obtiene cambiando filas por columnas en la matriz A, es decir, la fila i de A es ahora la columna i de At. Si la matriz A tiene orden m.n, At tiene orden n.m. Una matriz es simétrica si coincide con su traspuesta (A=At) y es antisimetrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo (A=-At).

MATRIZ INVERSA

Dada una matriz cuadrada A, diremos que tiene inversa si existe una matriz cuadrada del mismo orden (A la que denotamos A-1) tal que el producto AA-1=I. La matriz inversa, si existe, es única. No todas las matrices tienen inversa; las matrices con inversa se llaman invertibles o regulares. Una matriz no invertible es aquella cuyo determinante es igual a cero.
Calculo de la matriz inversa: El método mas sencillo de usar es mediante el método de Gauss. Por este método partimos la matriz A y colocamos a su derecha la matriz identidad I del mismo orden de A. Se trata de, sin cambiar el orden de las columnas, realizar transformaciones elementales por filas en esta matriz hasta convertir A en la matriz identidad I, mientras que la matriz I se ha transformado en otra matriz que es precisamente A-1.
Las transformaciones elementales son:

Cambiar el orden de las filas.

Multiplicar alguna fila por un escalar diferente a cero.

Sumar a alguna fila una combinación lineal de las demás.

Ejemplo
Encuentre la inversa de la matriz A y verifique.( AA-1=I)