martes, 25 de noviembre de 2014

4.3.2 Expansión de cofactores

Expansión de cofactores

Este blog tiene el objetivo de evidenciar mi trabajo, y que al mismo tiempo que sirva para la difusión de estos conocimientos y técnicas.




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4.3.1 Definición de una determinante

Definición de una determinante


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En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Métodos de cálculo

Artículos principales: Teorema de Laplace y Regla de Sarrus.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:
\det(A) = \sum_{\sigma \in P_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}.\
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los n! sumandos, el término
\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma_i}\
denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:
a_{1, \sigma_1} \cdot a_{2, \sigma_2} \cdots a_{n, \sigma_n}.\
La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.



Leer mas en: http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28matem%C3%A1tica%29

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4.2.4 matriz inversa

Matriz inversa


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Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.
A · A−1  = A−1 · A = I

Propiedades

 1  (A · B)−1  = B−1 · A−1
 2  (A−1)−1  = A
 3  (k · A)−1  = k−1 · A−1
 4  (At)−1  = (A−1)t


Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:
 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:
Matriz
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
paso 1º
 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.
F2 = F2 − F1
PASO 2º
F3 = F3 + F2
PASO 3º
F2 = F2 − F3
PASO 4º
F1 = F1 + F2
PASO 5º
F2 = (−1) F2
PASO 6º
La matriz inversa es:
Inversa



Leer mas en: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/inversa.html
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4.2.3 Propiedades de las operaciones matrices

Propiedades de las operaciones matrices


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Operaciones con matrices

Álgebra/Álgebra Lineal/Operaciones con matrices
Las matrices son objetos matemáticos que no se interrelacionan como los números o las funciones, ya que carecen de algunas de la propiedades usuales de éstos objetos anteriores. Sin embargo, poseen otras muy interesantes, que veremos en el siguiete punto: la aritmética de matrices.

Suma de matrices

Sean A, B \in \mathcal M_{m \times n}\, con coeficientes {a_{ij}}, {b_{ij}} \, respectivamente. Definimos la matriz suma S_{A+B} = A + B \, como:

\begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} \,

Es importante notar que la suma de matrices solo está definida para matrices que poseen el mismo orden.

Propiedades de la suma de matrices

(M_{m n}(K),+) \, es un grupo abeliano. Id est, verifica las siguientes propiedades:
  1. Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C para cualesquiera A,B,C \in\ M_{m n}(K) \,.
  2. Conmutatividad: A + B = B + A para cualesquiera A,B \in\ M_{m n}(K) \,.
  3. Elemento Neutro: la matriz formada enteramente por ceros, que en ocasiónes denotaremos como matriz 0, verifica que A + 0 = A para cualquier A \in\ M_{m n}(K) \,.
  4. Elemento simétrico: para cualquier A \in\ M_{m n}(K) \,, existe -A \in\ M_{m n}(K) \, que verifica A + (- A) = 0.
La demostración de estas propiedades se deduce claramente de las propiedades algebraicas de cuerpo que posee K.

Producto entre matrices y escalares

Sea una matriz A \in\ M_{m n}(K) \, y un escalar \alpha\ \in\ K \,. Definimos el producto entre A y α como la matriz
\begin{pmatrix} \alpha\ \cdot\ a_{11} & \cdots & \alpha\ \cdot\ a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha\ \cdot\ a_{m1} & \cdots & \alpha\ \cdot\ a_{mn}\end{pmatrix} \,
y lo denotamos por \alpha\ A \,.

Propiedades del producto entre matrices y escalares

A continuación detallamos las propiedades del producto entre matrices y escalares:
  1. Distributiva con respecto a la suma de escalares: (α + β) A = αA + βA para cualesquiera A \in\ M_{m n}(K) \,, \alpha\ , \beta\ \in\ K \,.
  2. Distributiva con respecto a la suma de matrices: α(A + B) = αA + αB para cualesquiera A,B \in\ M_{m n}(K) \,, \alpha\ \in\ K \,.
  3. Pseudoasociatividad: ( αβ ) A = α ( βA ) para cualesquiera A \in\ M_{m n}(K) \,, \alpha\ , \beta\ \in\ K \,.
  4. Elemento neutro: para cualquier A \in\ M_{m n}(K) \,, se verifica 1A = A.

Producto de Matrices

Dadas dos matrices A,B \in\ M_{m n}(K) \,, definimos la matriz producto como la Matriz C cuyos elementos ci,j están definidos por:
c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj}
Para operar, es útil seguir el método consistente en ir sumando los productos de la fila del primer factor y la columna del segundo que determinan la posición del elemento a dilucidar, siguiendo el gráfico de la imagen.

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.
Proposición 3. Las matrices con coeficientes en un cuerpo K tienen estructura de anillo no conmutativo.
Demostración. La estructura de anillo es evidente desde la definición del producto de matrices. Para ver que no es conmutativo, consideramos el siguiente contraejemlo: considérense las matrices A y B siendo
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \,
Se puede comprobar que se verifica entonces:
A B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , B A = \begin{pmatrix} -11 & 6 & -1 \\ -22 & 12 & -2 \\ -11 & 6 & -1 \end{pmatrix} \,
Cabe decir, no obstante, que la no conmutatividad de los anillos de matrices solo se verifica si la dimensión de éstas es mayor que 1, ya que en ese caso nos encontramos con el propio cuerpo K. A continuación estudiamos las principales propiedades del producto de matrices.

Propiedades del producto de matrices

  1. Asociatividad respecto de escalares: α (A B) = (α A) B para cualesquiera A , B \in\ M_{m n}(K) \,, \alpha\ \in\ K \,.
  2. Asociatividad respecto de matrices: A (B C) = (A B) C para cualesquiera A , B , C \in\ M_{m n}(K) \,.
  3. Distributiva por la derecha: (A + B) C = A C + B C para cualesquiera A , B , C \in\ M_{m n}(K) \,.
  4. Distributiva por la izquierda: A (B + C) = A B + A C para cualesquiera A , B , C \in\ M_{m n}(K) \,.
  5. Elemento neutro: para cualquier A \in\ M_{m n}(K) \,, se verifica IA = A, siendo I la matriz identidad.


Leer mas en: http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_con_matrices


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4.2.2 operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación)

Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación)


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SUMA DE MATRICES, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR


Suma de matrices

Dadas dos matrices del mismo orden A y B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de A y B. Es decir el primer elemento de A con el primer elemento de B, el segundo de A con el segundo de B y así sucesivamente.
Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento.

Suma de matrices
La matriz suma es del mismo orden que el de las matrices que se suman, por lo tanto estas dos deben ser del mismo orden.

Multiplicación de una matriz por un número real cualquiera.

Si tenemos una matriz A y un número real cualquiera que llamaremos k, el producto de k. A es una matriz, del mismo orden que A, que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por k.
Viste que es fácil, pero igual aquí va un ejemplo, por las dudas, je je je.

Producto de una matriz por un escalar
Matriz opuesta

Si multiplicamos una matriz A por (-1), se obtiene la matriz -A, que es la matriz opuesta a la dada.

Matriz opuesta
Como te habrás dado cuenta, no hay necesidad de hacer tanto esfuerzo, ya que el resultado es la misma matriz, pero con todos los signos cambiados.

Matriz opuesta 2
Por lo tanto lo único que hay que hacer es cambiarle los signos y listo.

Resta de matrices

La resta de dos matrices A y B, es decir (A - B), es igual a la suma de A más el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).
En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.

Resta de matrices
Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.

Resta de matrices 2
Si quiere puedes practicar un poco con el programita que te dejo aquí abajo, el botón:  Generar  crea matrices al azar, puedes elegir entre suma o resta, resuelve y llena las casillas de resultados y luego con el botón   Verificar   comprueba si tu resultado es correcto.


Leer mas en: http://www.proferiera.comocreartuweb.es/material5/unidad2/suma.html
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