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Una función
de dos variables
es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x,
y) un y sólo un número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de
correspondencia dá un número real se llama dominio
de la función. El conjunto de valores
z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen
o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la
notación
z = f
(x, y)
Las variables x, y se llaman variables
independientes, y z se llama variable dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de
puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y)
está en el dominio de f y z = f (x, y).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio
tridimensional.
En consecuencia, la grafica de una función f
de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio
tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas
ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un
conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y)
del dominio de f corresponde a solo un valor
de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar
a la grafica de f en mas de un punto.
Ejemplo ilustrativo 1
La función f del ejemplo 1 es el conjunto de
todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que
z=v25- x2 -y2
Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en
el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio
5. Esta semiesfera se muestra
en la figura 1.
Ejemplo 2:
dibuje la grafica de la función
Sol/: la grafica de f
es la superficie que tiene la ecuación z=x2 +y2 . La traza de la
superficie en el plano x,y se obtiene al utilizar la ecuación z=0
simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2
+y2=0 la cual representa el origen. Las trazas en los planos xz y yz
se obtiene al emplear las ecuaciones
z=x2 +y2. Estos trazos son las parábolas z= x2 y z= y2.
El deseo de abordar problemas
del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier
situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción.
Por ejemplo, el volumen
de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un
móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además del
tiempo,
de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad
a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a
cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la
velocidad
V del móvil en ese
punto y en ese instante:
f(x; y; z; t) = v
Observamos entonces que de acuerdo con la situación
especifica que queramos describir, requerimos el tipo de función adecuada.
Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3
las funciones
se clasifican de la siguiente forma:
Función Nombre
En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y
el nombre se conserva.
Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la
imagen de la función es un
numero o es un vector.
Ejemplo: la
función g esta definida por
g (x, y, z) = x2+y2-z
entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado
en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de
nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k = x2 + y2
, un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z.
en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4
(2015). Funciones en dos variables. En: monogra… Buscado elMartes,
10 de noviembre de 2015 Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos78/funciones-dominio-rango-curva-nivel/funciones-dominio-rango-curva-nivel.shtml
ARYA, J. C. (2009).
Matemáticas aplicadas a la administración. México: Pearson Educacíon.
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